映射与函数

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关于函数与映射的相关内容

映射

映射的分类

单射，满射，非单非满，既单既满

所有的“射”指的是被映射后的域

且根据映射的定义，我们知道，从左往右看，可以多对一，不允许一对多，X中必须全部映射

\(f:X \rightarrow Y\) ，且\(R_f = f(X) = \{ f(x) \mid x \in X \}\)

关于逆映射

很类似于 乘法逆元

要求：原映射是单射

逆映射的定义域是原映射的值域，或者说，反函数的定义域是原函数值域

其中存在一种恒等映射，即

\(f \circ f^{-1}(x) = x\)

关于复合映射

\(g:X \rightarrow Y_1\), \(f:Y_2 \rightarrow Z\)

且 \(Y_1 \subset Y_2\)

那么，我们可以定义复合映射\(f \circ g:X \rightarrow Z\)

也即 $(f g)(x) = f[g(x)], x X $

注意

  • \(R_g \subset D_f\)，g的值域包含在f的定义域内
  • \(f \circ g \ne g \circ f\)

函数

函数与映射的区别

  1. 函数有先后关系，map没有
  2. map中元素无要求，可以是字符，也可以是数集
  3. 函数一定是满射

判别两个函数是否相同

  1. 定义域
  2. 对应法则

example：

\(ln_x^2 ,2linx\)

函数的特性

  • 有界性

有界：

\(X \subset D, \exists M> 0,\forall x \in X\) ，有$ | f(x)| M$

无界：

\(X \subset D, \forall M>0,\exists x_0\)，使得\(\left| f(x_0)\right| > M\)

说白了，有界无界是在看一段区域内，值域是否存在\(\infty\)

额外提一嘴，最小上界叫做上确界，最大下界叫做下确界

所以我们可以知道，界不是唯一的

  • 单调性

做差，做商，求导判正负

  • 奇偶性

关于奇偶性的判断

  1. 定义域必须关于原点对称
  2. 写\(f(-x)\)，化简
  • 周期性

存在一个特例，是周期函数，但是无最小正周期

迪利克雷函数 \[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} 1 && x & \in Q \\ 0 && x & \in I \end{aligned} \right. \]

任意有理数都是其正周期

求解反函数

变换字母，化简

\(example:\)

\(y = 1 + log_{10}(x + 2)\)

解决： \[ \begin{aligned} x = 1 + log_{10}(y+2)\\ x - 1 = log_{10}(y+2)\\ 10^{x-1}=y+2\\ y=10^{x-1} - 2 \end{aligned} \] End.