行列式
关于行列式的相关基本知识和定理
二，三阶行列式
二阶行列式
有四个数，分别为第一排的\(a_{11},a_{12}\),第二排的\(a_{21},a_{22}\)
从左往右，从上往下，排成一个数表，表达式\(a_{11}a_{22}-a_{12}a{21}\)称为该数表所确定的二阶行列式
记作： \[ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right | \] 并且要注意，行列式呢，是一个具体的数值， \[ D = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \]
计算其数值，应用“对角线法则”，即\(a_{11} a_{22}\)是主对角线，\(a_{12}a_{21}\)是副对角线
三阶行列式
example： \[ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{matrix} \right | \] 对于其中任意一个元素，分，行标与列标，稍后会用到此定义。
计算其数值，沙路法
考虑，在该数表的右边，再写两列，如图 \[ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{matrix} \right | \begin{matrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{matrix} \]
\[ D = a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\ - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \]
全排列
把几个不同的元素排成一排，所有排列的种数，叫做该序列的全排列
有\(n!\)个
逆序数
用\(t[i]\)表示在一个排列中，比\(a[i]\)大的且排在\(a[i]\)前面的数字有几个
也就是，编程里面俗称的逆序对
我更习惯另一种表示
\(t[i]\)表示在一个排列中，比\(a[i]\)小的且排在\(a[i]\)后面的数字有几个
但最终求出来的序列的逆序数是一样的
注意，排列具有奇偶性，逆序数为奇数的排列称为奇排列，反之则为偶排列
将逆序数，全排列的知识，代入三阶行列式中
发现对于一个计算项来说，其下标的列标组成的排列为奇排列的项对应符号为负，反之为正
也即 \[ D = \sum (-1)^na_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3} \] 其中\(p_1,p_2,p_3\)组成的排列为奇排列，\((-1)^n\)最终结果为负号
\(p_1,p_2,p_3\)组成的排列为偶排列，\((-1)^n\)最终结果为正号
n阶行列式
简记作\(det\)
在n阶行列式中，我们只需找到不为0的项即可
所以有一些小性质：
- 主对角线有数字，别的都是0，D = 主对角线上数字相乘
- 副对角线同理
- 上半角有数，或者下半角有数，仍然只需算对角线上数字相乘
对换
顾名思义，在一个排列中，将任意两个元素调换，其余元素不动，显然发现，存在一种情况叫做“相邻对换”
有几个定理
- 经过一次对换后（无论是否相邻），排列的奇偶性发生改变
- \(D= \sum (-1)^na_{p_11}a_{p_22} \cdots a_{p_nn}\)其中n为行标逆序数之和
- \(D= \sum (-1)^na_{p_1q_1}a_{p_2q_2} \cdots a_{p_nq_n}\)其中n为行标逆序数与列标逆序数之和