数列极限与性质
关于数列极限与性质
数列极限
通俗定义
n趋近于无限大,数列中的一般项\(x_n\)无限接近于某一个常数,那么称该常数为该数列的极限,或称该数列收敛该常数,记作 \[ {\lim_{x \to +\infty}} x_n = a \] 否则,称该数列发散,或者 \[ {\lim_{x \to +\infty}}x_n \] 不存在。 \[ \begin{aligned} n \to +\infty,x_n \to a \iff \\ n \to +\infty,|x_n - a| \to \iff \\ n \to +\infty,|x_n - a| \to 任意小,可以小于给定的任何正数 \end{aligned} \]
精确定义
\(\forall \varepsilon,\exists N\),使得\(n > N\),\(|x_n - a|< \varepsilon\)总成立,那么称该常数为该数列的极限,或称该数列收敛该常数
极限的四则运算法则
假设 \[ \begin{aligned} {\lim_{n \to +\infty}} a_n = a \\ {\lim_{n \to +\infty}} b_n = b \\ \end{aligned} \] 那么,满足 $$ \[\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty}(C_1a_n + C_2b_n) = C_1\lim_{n \to +\infty}a_n + C_2\lim_{n \to +\infty}b_n = C_1a+C_2b\\ \lim_{n \to +\infty}(a_n+ b_n) = \lim_{n \to +\infty}a_n \lim_{n \to +\infty}b_n = ab \end{aligned}\]$$ 其中,极限的相除,分母不可为零
求极限的方法
- 多项式比多项式
若最高次幂相同,那么该极限即为最高次幂的系数
若最高次幂不同,则该数列不存在极限
- 遇见根式,有理化
- 永远只看最高项
相关定理
- 夹逼定理
\(\forall n \text{使得}\left\{x_n\right\}\left\{y_n \right\}\left\{z_n\right\}\),且满足 \[ \begin{aligned} y_n < x_n <z_n\\ \lim_{n \to +\infty} y_n = \lim_{n \to +\infty}z_n = a \end{aligned} \] 那么 \[ \lim_{n \to +\infty}x_n = a \] 应用:
遇到数列,考虑放缩,不改变最高次幂,改变次要项
日后不坑,没精力继续写了
- 单调有界数列必有极限
单调递增序列有上界
单调递减数列有下界
数列极限的性质
- 唯一性
- 收敛的数列必有界(反过来不成立,\((-1)^{n+1}\))
- 保号性