数列极限与性质

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关于数列极限与性质

数列极限

通俗定义

n趋近于无限大，数列中的一般项\(x_n\)无限接近于某一个常数，那么称该常数为该数列的极限，或称该数列收敛该常数，记作 \[ {\lim_{x \to +\infty}} x_n = a \] 否则，称该数列发散，或者 \[ {\lim_{x \to +\infty}}x_n \] 不存在。 \[ \begin{aligned} n \to +\infty,x_n \to a \iff \\ n \to +\infty,|x_n - a| \to \iff \\ n \to +\infty,|x_n - a| \to 任意小，可以小于给定的任何正数 \end{aligned} \]

精确定义

\(\forall \varepsilon,\exists N\)，使得\(n > N\),\(|x_n - a|< \varepsilon\)总成立，那么称该常数为该数列的极限，或称该数列收敛该常数

极限的四则运算法则

假设 \[ \begin{aligned} {\lim_{n \to +\infty}} a_n = a \\ {\lim_{n \to +\infty}} b_n = b \\ \end{aligned} \] 那么，满足 $$ \[\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty}(C_1a_n + C_2b_n) = C_1\lim_{n \to +\infty}a_n + C_2\lim_{n \to +\infty}b_n = C_1a+C_2b\\ \lim_{n \to +\infty}(a_n+ b_n) = \lim_{n \to +\infty}a_n \lim_{n \to +\infty}b_n = ab \end{aligned}\]

$$ 其中，极限的相除，分母不可为零

求极限的方法

  • 多项式比多项式

若最高次幂相同，那么该极限即为最高次幂的系数

若最高次幂不同，则该数列不存在极限

  • 遇见根式，有理化
  • 永远只看最高项

相关定理

  • 夹逼定理

\(\forall n \text{使得}\left\{x_n\right\}\left\{y_n \right\}\left\{z_n\right\}\)，且满足 \[ \begin{aligned} y_n < x_n <z_n\\ \lim_{n \to +\infty} y_n = \lim_{n \to +\infty}z_n = a \end{aligned} \] 那么 \[ \lim_{n \to +\infty}x_n = a \] 应用：

遇到数列，考虑放缩，不改变最高次幂，改变次要项

日后不坑，没精力继续写了

  • 单调有界数列必有极限

单调递增序列有上界

单调递减数列有下界

数列极限的性质

  • 唯一性
  • 收敛的数列必有界（反过来不成立，\((-1)^{n+1}\)）
  • 保号性