初等函数
关于初等函数的相关知识
基本初等函数
常函数
y = k
幂函数
\(y = x^u\)
共性：都经过(1,1),在$(0, inf) $上有意义
指数函数
\(y = a^x(a >0, a \ne 1)\)
\(x \in R\)
\(y \in (0,inf)\)
过(1,0)
对数函数
\(y = log_ax\)
\(x \in (0,inf)\)
\(y \in R\)
过(0,1)
与指数函数互为反函数
三角函数
正余弦函数
\(x \in R\)
周期都为\(2\pi\)
正余切函数
正切：\({x | x \ne k \pi + \dfrac{\pi}{2}, k \in Z }\)
余切
\(y = cotx=\dfrac {cosx}{sinx}\)
\(x | x \ne k\pi, k \in Z\)
周期都为\(\pi\)
反三角函数
根据反函数的定义要求
“单射”
所以一般来讲，三角函数并不满足此条件
但是我们可以考虑在某一段区间内，进行反函数的操作
arcsin
\(x \in [-1,1] ,y \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]\)
arccos
\(x \in [-1,1], y \in [0, \pi]\)
arctan
\(x \in R, y \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})\)
arccos
\(x \in R, y \in (0, \pi)\)
函数的四则运算
和差积商
\(f(x),x \in D_1,g(x), x \in D_2, \exists D = D_1 \cap D_2 \ne NULL\)
则可以定义下面四个\(x \in D\)运算
\(f + g : (f+ g)(x) = f(x) + g(x),x \in D\)
但是在对商时
分母不可为零
复合函数
\(y = f(u), u \in D_1, u = g(x)在D上有定义\)，且\(g(D) \subset D_1\)
则，由下式确定的函数 \[ y = f[g(x)], x \in D \] 叫做由\(y = f(u), u = g(x)\)构成的复合函数，其中定义域为D，\(u\)叫做中间变量
记作\(f \circ g\)
前提条件：内层函数值域包含在外层函数定义域内
example \[ \begin{aligned} y = arcsin u\\ u = 2 + x^2\\ \end{aligned} \] 所以复合无意义
分解复合函数\(y = \sqrt {cot \dfrac{x}{2}}\) \[ \begin{aligned} y = \sqrt u \\ u = cot v \\ v = x^2\\ \end{aligned} \] 另一个案例\(y = sin(e^{x^2})\) \[ \begin{aligned} y = sin u \\ u = e^v \\ v = x^2\\ \end {aligned} \] 分解到最后，必须
- 基本初等函数
- 基本初等函数经过四则运算得到的形式
关于幂函数与指数函数，关键在于看自变量x的位置 \[ \begin{aligned} y = x^u \rightarrow y = [g(x)] ^u\\ y = u^x \rightarrow y = u^{g(x)}\\ \end{aligned} \]
初等函数
定义：基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的且有统一的解析表达式的函数叫做 初等函数
根据定义我们可以知道分段函数不属于初等函数
幂指函数
形如\([f(x)]^{g(x)}\)，其中\(f(x)>0\)，称之为 幂指函数
幂指函数是初等函数
证明：
恒等式\(h(x) > 0, h(x) = e^{ln {h(x)}}\)
所以 \[ \begin{aligned} f(x)^{g(x)} \\ =e^{lnf(x)^{g(x)}} \\ =e^{g(x)lnf(x)}\\ \end{aligned} \]
隐函数
可以看得到表达式的函数叫做显函数
由二元方程\(F(x,y)\)所确定了一个定义在D上的函数，叫做 隐函数
如\(e^{xy} + x + y = 0\)确定了一个隐函数\(y = f(x),x \in D\)
隐函数的解析式一般写不出来
有时候也可以 \[ x^2 + 2xy - 1 = 0 \] 解方程 \[ y = f(x) = \dfrac{1-x^2}{2x} , x\ne 0 \]